Location: Velkommen > Matematik > Potens

powered by CMSimple
Sidste opdatering:
30. September 2014 08:31:53

Potens

an = kaldes en ”potens”, og udtales a i n’te.
a hedder ”roden” (grundtallet eller basis) og n er ”eksponenten”.

an betyder at a skal gange med sig selv n antal gange.

Eksempel 1:

22 = 2 x 2 = 4  
23 = 2 x 2 x 2 = 8  
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128  


Fortegns regler:

Eksempel 2:

(+2)2 = (+2)(+2) = + 4 (1)
(+2)3 = (+2)(+2)(+2) = + 8 (2)
(-2)2 = (-2)(-2) = + 4 (3)
(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = - 8

(4)

Heraf følger:

  • Alle potenser med positiv rod (grundtal) er positive (1) og (2).
  • Alle potenser med negativ rod (grundtal) er positive, når eksponenten er et lige tal (3).
  • Alle potenser med negativ rod (grundtal) er negative, når eksponenten er et ulige tal (4).

 


Et produkt er nul, når blot én af faktorerne er nul.

  • Eksempel: 04 = 0
  • Generelt: 0n = 0

 
Tallet 1 multipliceret med sig selv et vilkårligt antal gange er 1.

  • Eksempel: 14 = 1
  • Generelt: 1n = 1  

 

Et produkt er ét, hvis eksponenten er nul.

  • Eksempel: 40 = 1
  • Generelt: n0 = 1

Regneregler for potenser:

 

A. Addition og subtraktion

 

"Man kan kun addere eller subtrahere ensbenævnte størrelser. Det vil sig, at roden skal være den samme og eksponenten skal være den samme".

 

Eksempel:

2x2 + 8x2 - 3x2  =  7x2


 

B. Multiplikation af potenser med samme rod (grundtal)

 

"Man multiplicerer potenser med samme rod ved at beholde roden og addere eksponenten".

 

Eksempel:

42 x 43

=

(4 x 4)(4 x 4 x 4)

=

4 x 4 x 4 x 4 x 4

=

45

 

 

 

 

- eller

42 x 43

=

42 + 3

=

45

 

 

 

 

 

 

Generelt:

ap x aq

=

ap + q

 

C. Multiplikation af potenser med samme eksponent

 

"Man multiplicerer potenser med samme eksponent ved at multiplicere roden og beholde eksponenten".

 

Eksempel:

23 x 53

=

(2 x 2 x 2)(5 x 5 x 5)

=

(2 x 5)(2 x 5)(2 x 5)

=

(2 x 5)3

 

 

 

 

Generelt:

ap x bp

=

(a x b)p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skrives det forannævnte udtryk således at venstre og højre side byttes, får vi:

 

 

(a x b)p

=

ap x bp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- hvilket i ord vil sige: 

  • "Man opløfter et produkt til potens ved at opløfte hver faktor for sig".

 

 

D. Division af potenser med samme rod (grundtal)

 

"Man dividere potenser med samme rod ved at beholde roden og subtrahere nævnerens eksponenten fra tællerens".

 

Eksempel:

46

=

4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

=

4 x 4

=

42

 

 

 

 

44

4 x 4 x 4 x 4

 

 

 

 

Generelt:

ap

=

ap - q

 

 

 

 

 

 

 

 

aq                

 

- men læg mærke til følgende tre eksempler:

 

Eksempel:

a3

=

a3 - 2

=

a1

 

 

 

 

 

 

a2            

- eller:

a3

=

a x a x a

=

a

 

 

 

 

 

 

a2

a x a

 

 

 

 

 

altså

a1

=

    a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eksempel:

a3

=

a3 - 3

=

a0

 

 

 

 

 

 

a3            

- eller:

a3

=

a x a x a

=

1

 

 

 

 

 

 

a3

a x a x a

 

 

 

 

 

altså

a0

=

    1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eksempel:

a3

=

a3 - 5

=

a - 2

 

 

 

 

 

 

a5            

- eller:

a3

=

a x a x a

=

1

 

 

 

a5

a x a x a x a x a

a2

 

 

 

altså

a - n

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

an

Grundbegrebet med at eksponenten står for det antal gange, roden skal multipliceres med sig selv, er hermed slået i stykker. Udtrykkene a1, a0 og a - 2 har ved anvendelse af divisionsreglen fået en ny betydning.

 

E. Division af potenser med samme eksponent

 

"Man dividere potenser med samme eksponent ved at beholde eksponenten og dividere rødderne".

 

Eksempel:

44

=

4 x 4 x 4 x 4

=

4

x

4

x

4

x

4

= (

4

) 4

74

7 x 7 x 7 x 7

7 7 7 7

7

 

Generelt:

ap

=

(

a

)

p

 

 

 

 

                     
bp b                                

 

Skrives det forannævnte udtryk således at venstre og højre side byttes, får vi:

 

 

(

a

)

p

=

ap

 

 

  b   bp  

   

- hvilket i ord vil sige: 

  • "Man opløfter et produkt til potens ved at opløfte hver faktor for sig".

 

F. Opløftning af potens til ny potens

 

"Man opløfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og multiplicere eksponenterne".

 

Eksempel:

(42)3

=

(4 x 4)3

=

43 x 43

=

43 + 3

=

46

 

 

- eller

(42)3

=

42 x 3

=

46

 

 

 

 

 

 

Generelt:

(ap)q

=

ap x q

 

 


Nyheder

Seneste større opdatering

Dropbox er en mulighed for 2GB lagerplads online gratis. Så har du dine filer i nærhed, når du har netforbindelse og skal derfor IKKE huske din USB m.m.

Tresorit er et endnu bedre alternativ, da din data er beskyttede med kryptering. Klik her for at få en konto hos Tresorit.
Et alternativ til det kendte Dropbox er i stedet Bitcasa med mere gratis plads. Link til Bitcasa. Har du netadgang har du herved adgang til dine filer, dokumenter og lignende.

Opdateret udgave af SMath til matematik, se downloadside

Tilføjede skabeloner til MS Word til matematikafleveringer.

Formelsamling til matematik - Online. Se mere her eller her.

CAS - Computer Algebra Software - eller et andet ord for at computeren kan lave rigtig meget for dig i matematik, hvis du vel at mærke skriver/regner rigtigt. Se mere om CAS eller Wordmat, hvor sidstnævnte ikke er et reelt CAS-program.

Lomme-/mobilfilm, se link.

Energiindhold i kosten, Se link.

Undervisningsministeriet har lagt formelsamling til matematik på nettet.

Orden i matematikafleveringer skal ikke forveksles med kommunikativ værdi, men ... se link

Rettet siden om trigonometri, hvor et par fejl havde sneget sig ind. Trigonometri er blevet en ny del af pensum iflg. Fælles Mål II.

Download-ark er tilføjet på siderne om

- Moms

- Evolution - klassifikation

- Omregninger

- Brøker

- Regnearternes hieraki

- Division

- Potenser

- Uligheder

- Fortegnsskift ved multiplikation

En hammer og søm
Bare fordi man har lært at bruge en hammer som et værktøj er alt jo ikke blevet til søm. Dvs. brug redskaber (forstået i bred forstand) til det de egner sig.

Lommeregner i matematik
Den skal overholde regnearternes hieraki. Fx skal stykket 2+3*4 give 14 og IKKE 20, hvis den tastes ind på lommeregneren. Desuden er det en god idé med et to-linjers display.

Vejret